Spark入门：奇异值分解（SVD）_厦大数据库实验室博客

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降维（Dimensionality Reduction） 是机器学习中的一种重要的特征处理手段，它可以减少计算过程中考虑到的随机变量（即特征）的个数，其被广泛应用于各种机器学习问题中，用于消除噪声、对抗数据稀疏问题。它在尽可能维持原始数据的内在结构的前提下，得到一组描述原数据的，低维度的隐式特征（或称主要特征）。

MLlib机器学习库提供了两个常用的降维方法：奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD） 和 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），下面我们将通过实例介绍其具体的使用方法。

一、奇异值分解（SVD）

1、概念介绍

奇异值分解（SVD）** 来源于代数学中的矩阵分解问题，对于一个方阵来说，我们可以利用矩阵特征值和特征向量的特殊性质（矩阵点乘特征向量等于特征值数乘特征向量），通过求特征值与特征向量来达到矩阵分解的效果：

$A = Q\Sigma Q^{-1}$

这里，

$Q$

是由特征向量组成的矩阵，而

$\Sigma$

是特征值降序排列构成的一个对角矩阵（对角线上每个值是一个特征值，按降序排列，其他值为0），特征值的数值表示对应的特征的重要性。

在很多情况下，最大的一小部分特征值的和即可以约等于所有特征值的和，而通过矩阵分解的降维就是通过在

$Q$

、

$\Sigma$

中删去那些比较小的特征值及其对应的特征向量，使用一小部分的特征值和特征向量来描述整个矩阵，从而达到降维的效果。

但是，实际问题中大多数矩阵是以奇异矩阵形式，而不是方阵的形式出现的，奇异值分解是特征值分解在奇异矩阵上的推广形式，它将一个维度为

$m\times n$

奇异矩阵

$A$

分解成三个部分 :

$A = U\Sigma V^{T}$

其中

$U$

、

$V$

是两个正交矩阵，其中的每一行（每一列）分别被称为 左奇异向量 和 右奇异向量，他们和

$\Sigma$

中对角线上的奇异值相对应，通常情况下我们只需要取一个较小的值

$k$

，保留前

$k$

个奇异向量和奇异值即可，其中

$U$

的维度是

$m\times k$

、

$V$

的维度是

$n \times k$

、

$\Sigma$

是一个

$k \times k$

的方阵，从而达到降维效果。

2、SVD变换的例子

Mllib内置的奇异值分解功能位于org.apache.spark.mllib.linalg包下的RowMatrix和IndexedRowMatrix类中，所以，我们必须先通过已有数据创建出相应矩阵类型的对象，然后调用该类的成员方法来进行SVD分解，这里以RowMatrix为例：

首先，引入需要的类：

import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix

准备好一个矩阵，这里我们采用一个简单的文件a.mat来存储一个尺寸为(4,9)的矩阵，其内容如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 0 8 6 7
9 0 8 7 1 4 3 2 1
6 4 2 1 3 4 2 1 5

随后，将该文本文件读入成RDD[Vector]，并转换成RowMatrix，即可调用RowMatrix自带的computeSVD方法计算分解结果，这一结果保存在类型为SingularValueDecomposition的svd对象中：

scala> val data = sc.textFile("a.mat").map(_.split(" ").map(_.toDouble)).map(line => Vectors.dense(line))
data: org.apache.spark.rdd.RDD[org.apache.spark.mllib.linalg.Vector] = MapPartitionsRDD[3] at map at <console>:31
//通过RDD[Vectors]创建行矩阵
scala> val rm = new RowMatrix(data)
rm: org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix = org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix@4397952a
//保留前3个奇异值
scala> val svd = rm.computeSVD(3)
svd: org.apache.spark.mllib.linalg.SingularValueDecomposition[o....

通过访问svd对象的V、s、U成员分别拿到进行SVD分解后的右奇异矩阵、奇异值向量和左奇异矩阵：

scala> svd.s
res7: org.apache.spark.mllib.linalg.Vector = [28.741265581939565,10.847941223452608,7.089519467626695]

scala> svd.V
res8: org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix =
-0.32908987300830383  0.6309429972945555    0.16077051991193514
-0.2208243332000108   -0.1315794105679425   -0.2368641953308101
-0.35540818799208057  0.39958899365222394   -0.147099615168733
-0.37221718676772064  0.2541945113699779    -0.25918656625268804
-0.3499773046239524   -0.24670052066546988  -0.34607608172732196
-0.21080978995485605  0.036424486072344636  0.7867152486535043
-0.38111806017302313  -0.1925222521055529   -0.09403561250768909
-0.32751631238613577  -0.3056795887065441   0.09922623079118417
-0.3982876638452927   -0.40941282445850646  0.26805622896042314

scala> svd.U
res9: org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix = null

这里可以看到，由于限定了取前三个奇异值，所以奇异值向量s包含有三个从大到小排列的奇异值，而右奇异矩阵V中的每一列都代表了对应的右奇异向量。U成员得到的是一个null值，这是因为在实际运用中，只需要V和S两个成员，即可通过矩阵计算达到降维的效果，其具体原理可以参看这篇博文：机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用，这里不再赘述。

如果需要获得U成员，可以在进行SVD分解时，指定computeU参数，令其等于True，即可在分解后的svd对象中拿到U成员，如下文所示：

scala> val svd = rm.computeSVD(3, computeU = true)
svd: org.apache.spark.mllib.linalg.SingularValueDecomposition[o

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